[canonical]: https://grile.online/matematica/permutari-si-grupuri-simetrice

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/permutari-si-grupuri-simetrice
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Permutări și grupuri simetrice · Matematică

20 grile, în 1 set, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. O inversiune a permutării $\sigma$ este o pereche $(i, j)$ astfel încât:

a) $i = j$ și $\sigma(i) \neq \sigma(j)$
b) $i < j$ și $\sigma(i) < \sigma(j)$
c) $i > j$ și $\sigma(i) > \sigma(j)$
d) $i < j$ și $\sigma(i) > \sigma(j)$

Răspuns corect: d) $i < j$ și $\sigma(i) > \sigma(j)$

Prin definiție, o pereche $(i, j)$ cu $1 \le i < j \le n$ este o **inversiune** a permutării $\sigma \in S_n$ dacă

$$\sigma(i) > \sigma(j).$$

Numărul total de astfel de perechi se notează cu $\operatorname{inv}(\sigma)$ și stă la baza definiției signaturii.

2. Fie permutarea $\sigma=(1\ 3\ 5\ 2)\in S_5$, scrisă ca un ciclu de lungime $4$ (elementul $4$ este fix). Ordinul lui $\sigma$ este:

a) $3$
b) $4$
c) $2$
d) $5$

Răspuns corect: b) $4$

Pentru un ciclu de lungime $k$, ordinul este exact $k$ (cea mai mică putere care revine la identitate parcurge tot ciclul o dată).

Ciclul $(1\ 3\ 5\ 2)$ are lungimea $4$, deci $\text{ord}(\sigma)=4$.

Verificare (sympy): `Permutation([[0,2,4,1]], size=5).order()` → $4$.

3. Fie permutarea

$$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \in S_4$$

Numărul punctelor fixe ale lui $\sigma$ (elementele $k$ cu $\sigma(k)=k$) este:

a) $3$
b) $1$
c) $2$
d) $0$

Răspuns corect: c) $2$

Verificăm fiecare valoare: $\sigma(1)=1$ (fix), $\sigma(2)=3$ (nu), $\sigma(3)=2$ (nu), $\sigma(4)=4$ (fix). Deci

$$\text{puncte fixe: } \{1, 4\}, \quad \text{numărul lor} = 2$$

4. Fie $\sigma=(1\ 3\ 5\ 2\ 4)$ un ciclu de lungime $5$ din $S_5$ (adică $\sigma(1)=3,\ \sigma(3)=5,\ \sigma(5)=2,\ \sigma(2)=4,\ \sigma(4)=1$). Ordinul lui $\sigma$ (cel mai mic $k\in\mathbb{N}^*$ cu $\sigma^k=e$) este:

a) $4$
b) $25$
c) $5$
d) $120$

Răspuns corect: c) $5$

Un ciclu de lungime $5$ are ordinul $5$: $\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\sigma^4$ sunt diferite de identitate, iar $\sigma^5=e$.

Verificare: urmărind orbita lui $1$: $1\to3\to5\to2\to4\to1$ — exact $5$ pași pentru a reveni la $1$; calculul direct al lui $\sigma^5$ (verificat computațional cu sympy, `Permutation.order()`) confirmă $5$. ($25=5^2$ și $120=5!$ sunt capcane care confundă ordinul ciclului cu alte cantități.)

5. Fie permutările din $S_3$:

$$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$

Atunci $\sigma \tau$ (adică $\sigma \circ \tau$, aplicând întâi $\tau$) este egală cu:

a) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$
b) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$
c) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$
d) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Răspuns corect: a) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

Aplicăm convenția $(\sigma \tau)(k) = \sigma(\tau(k))$:

$$\begin{aligned}
(\sigma\tau)(1) &= \sigma(\tau(1)) = \sigma(1) = 2 \\
(\sigma\tau)(2) &= \sigma(\tau(2)) = \sigma(3) = 3 \\
(\sigma\tau)(3) &= \sigma(\tau(3)) = \sigma(2) = 1
\end{aligned}$$

Deci

$$\sigma \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.$$

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #036](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-11-permutari)