[canonical]: https://grile.online/matematica/numere-complexe

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/numere-complexe
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Numere complexe · Matematică

21 grile, în 2 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Calculați $(2 + i)^2 - (2 - i)^2$, unde $i$ este unitatea imaginară.

a) $0$
b) $2i$
c) $4 + 4i$
d) $4 - 4i$
e) $8i$
f) $8$

Răspuns corect: e) $8i$

$(2+i)^2 = 3 + 4i$ și $(2-i)^2 = 3 - 4i$, deci diferența este $(3 + 4i) - (3 - 4i) = 8i$.

2. Rezultatul calculului $(2+3i)+(1-i)$ este:

a) $3+4i$
b) $3+2i$
c) $2+2i$
d) $1+4i$

Răspuns corect: b) $3+2i$

$$(2+1)+(3-1)i=3+2i.$$

3. Punctele $A$ și $B$ au afixele $z_A=1+2i$ și $z_B=5+6i$. Afixul mijlocului segmentului $[AB]$ este:

a) $2+3i$
b) $6+8i$
c) $3+4i$
d) $4+4i$

Răspuns corect: c) $3+4i$

$$z_M=\frac{z_A+z_B}{2}=\frac{(1+2i)+(5+6i)}{2}=\frac{6+8i}{2}=3+4i.$$

(Aceeași formulă ca la coordonate: partea reală și cea imaginară se mediază separat.)

4. Forma algebrică a numărului complex $(\sqrt{3} + i)^{10}$ este:

a) $1024$
b) $512 - 512\sqrt{3}\,i$
c) $-512 + 512\sqrt{3}\,i$
d) $512 + 512\sqrt{3}\,i$

Răspuns corect: b) $512 - 512\sqrt{3}\,i$

Avem $\sqrt{3}+i = 2\!\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$, deci prin De Moivre:

$$(\sqrt{3}+i)^{10} = 2^{10}\!\left(\cos\frac{10\pi}{6} + i\sin\frac{10\pi}{6}\right) = 1024\!\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right).$$

Valorile notabile: $\cos\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, $\sin\dfrac{5\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, deci:

$$(\sqrt{3}+i)^{10} = 1024 \cdot \frac{1}{2} + 1024 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i = 512 - 512\sqrt{3}\,i.$$

5. Punctele $A$ și $B$ au afixele $z_A=1+2i$ și $z_B=4+6i$. Distanța $AB$ este:

a) $5$
b) $\sqrt7$
c) $25$
d) $7$

Răspuns corect: a) $5$

$$z_B-z_A=3+4i,\qquad AB=|3+4i|=\sqrt{9+16}=5.$$

Modulul diferenței este exact distanța euclidiană dintre imaginile geometrice ale celor două numere.

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #001](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-bac-i)
- [Matematică #008](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-10-numere-complexe)