[canonical]: https://grile.online/matematica/morfisme

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/morfisme
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Morfisme · Matematică

4 grile, în 1 set, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Se consideră morfismele de grupuri $f:(\mathbb R^*,\cdot)\to(\mathbb R^*,\cdot)$, $f(x)=x^n$, cu $n\in\mathbb Z$ fixat. Știind că $f(-1)=-1$, o valoare posibilă a lui $n$ este:

a) $3$
b) $2$
c) $0$
d) $4$

Răspuns corect: a) $3$

$(-1)^n=-1$ are loc exact când $n$ este impar.

Dintre valorile date, singura impară este $n=3$, iar $f(-1)=(-1)^3=-1$ verifică condiția.

$$n=3$$

2. Dacă două grupuri finite sunt izomorfe, atunci ele au în mod obligatoriu:

a) același număr de elemente
b) aceeași lege de compoziție
c) aceeași mulțime suport
d) aceleași elemente

Răspuns corect: a) același număr de elemente

Un izomorfism este bijectiv, deci cele două grupuri au **același ordin** (același număr de elemente).

Ele pot avea însă elemente și legi complet diferite — de exemplu $\left(\mathbb Z_4,+\right)$ și grupul $\left\{1,i,-1,-i\right\}$ cu înmulțirea numerelor complexe sunt izomorfe, deși elementele nu seamănă deloc.

(Egalitatea ordinelor este necesară, dar **nu** suficientă: $\mathbb Z_4$ și grupul lui Klein au ambele $4$ elemente, dar nu sunt izomorfe.)

3. Fie $f:(G,\cdot)\to(G',\cdot)$ un morfism injectiv de grupuri, cu $|G|=20$. Cel mai mic număr posibil de elemente ale lui $G'$ este:

a) $20$
b) $1$
c) $4$
d) $5$

Răspuns corect: a) $20$

Fiind injectiv, $f$ realizează o bijecție între $G$ și imaginea sa, deci $|f(G)|=|G|=20$.

$f(G)$ este subgrup al lui $G'$, așa că prin teorema lui Lagrange $|f(G)|$ divide $|G'|$. Deci $|G'|$ trebuie să fie un multiplu de $20$; cel mai mic astfel de multiplu este $20$ însuși (caz în care $f$ este chiar izomorfism).

$$20$$

4. Funcția $f:(\mathbb R,+)\to(\mathbb R_+^*,\cdot)$, $f(x)=2^x$, este izomorfism de grupuri, cu inversa $f^{-1}(y)=\log_2 y$. Atunci $f^{-1}(8)$ este:

a) $2$
b) $8$
c) $1$
d) $3$

Răspuns corect: d) $3$

$f^{-1}(8)=\log_2 8=\log_2 2^3=3$.

$$3$$

5. Pe $\mathbb R$ se definește legea $x*y=x+y-3$. Această lege este:

a) fără sens pentru $x=3$
b) necomutativă
c) comutativă
d) comutativă doar pentru $x,y>0$

Răspuns corect: c) comutativă

$$x*y=x+y-3,\qquad y*x=y+x-3.$$

Cum adunarea numerelor reale este comutativă, cele două expresii coincid, deci legea este **comutativă**.

(din capitolul Legi de compoziție)

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #017](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-12-legi-compozitie-grupuri)