[canonical]: https://grile.online/matematica/logica-si-inductie

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/logica-si-inductie
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Logică și inducție · Matematică

20 grile, în 1 set, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. O propoziție matematică este o afirmație care:

a) este fie adevărată, fie falsă (dar nu ambele)
b) conține cel puțin o variabilă liberă
c) poate fi adevărată și falsă în același timp
d) exprimă o întrebare sau o cerință

Răspuns corect: a) este fie adevărată, fie falsă (dar nu ambele)

Prin definiție, o propoziție matematică este o afirmație despre care se poate spune, fără ambiguitate, dacă este adevărată sau falsă, dar nu ambele simultan.

Afirmațiile cu variabile libere (de ex. $x > 0$) sunt predicate, nu propoziții, pentru că valoarea lor de adevăr depinde de variabilă. Întrebările și cerințele nu sunt propoziții.

2. Propoziția $\neg(p \lor q)$ este echivalentă cu:

a) $\neg p \to \neg q$
b) $\neg p \land \neg q$
c) $p \land q$
d) $\neg p \lor \neg q$

Răspuns corect: b) $\neg p \land \neg q$

Conform legilor lui De Morgan:

$$\neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q$$

Intuitiv: "nu este adevărat că $p$ sau $q$" înseamnă că nici $p$ nu este adevărat, nici $q$ nu este adevărat — adică ambele sunt false simultan.

(Cealaltă lege a lui De Morgan este $\neg(p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q$.)

3. Verificați baza de inducție $n = 1$ pentru formula $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$. Care este valoarea membrului drept pentru $n = 1$?

a) $0$
b) $2$
c) $n + 1$
d) $1$

Răspuns corect: d) $1$

Pentru $n = 1$: $\dfrac{1 \cdot 2}{2} = 1$, ceea ce este egal cu membrul stâng $1$. Baza inducției este verificată.

4. Predicatul $x^2 \geq 0$ devine propoziție adevărată dacă cuantificăm:

a) $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$
b) $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0$
c) $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = -1$
d) $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 < 0$

Răspuns corect: a) $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$

Pentru orice $x \in \mathbb{R}$, pătratul este nenegativ:

$$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$$

Aceasta este o propoziție adevărată, pentru că $x^2 \geq 0$ se verifică pentru orice număr real.

Celelalte variante sunt fie false (nu există $x \in \mathbb{R}$ cu $x^2 < 0$ sau $x^2 = -1$), fie nu redau predicatul dat.

5. Implicația $p \to q$ este falsă numai când:

a) $p$ este fals și $q$ este adevărat
b) $p$ este fals și $q$ este fals
c) $p$ este adevărat și $q$ este fals
d) $p$ este adevărat și $q$ este adevărat

Răspuns corect: c) $p$ este adevărat și $q$ este fals

Tabelul de adevăr al implicației $p \to q$:

$$\begin{array}{cc|c} p & q & p \to q \\ \hline \text{A} & \text{A} & \text{A} \\ \text{A} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{A} & \text{A} \\ \text{F} & \text{F} & \text{A} \end{array}$$

Singura combinație în care $p \to q$ este falsă este $p$ adevărat și $q$ fals.

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #038](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-9-logica-inductie)