[canonical]: https://grile.online/matematica/logaritmi

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/logaritmi
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Logaritmi · Matematică

10 grile, în 2 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Rezolvați ecuația $\log_2(x + 1) = 3$ în $\mathbb{R}$.

a) $x = 5$
b) $x = 7$
c) $x = 8$
d) $x = 9$

Răspuns corect: b) $x = 7$

$\log_2(x+1) = 3 \iff x + 1 = 2^3 = 8 \iff x = 7$, iar $x = 7 > -1$ respectă condiția de existență.

2. Fie ecuația $(\lg x)^2 - 3\lg x + 2 = 0$. Suma soluțiilor ecuației este:

a) $1000$
b) $110$
c) $102$
d) $3$

Răspuns corect: b) $110$

**Substituție:** fie $t = \lg x$. Ecuația devine $t^2 - 3t + 2 = 0$, cu rădăcinile $t_1 = 1$ și $t_2 = 2$.

Condiția de existență $x > 0$ este satisfăcută automat (orice putere a lui $10$ e pozitivă).

$$t_1 = 1 \Rightarrow x_1 = 10^1 = 10$$

$$t_2 = 2 \Rightarrow x_2 = 10^2 = 100$$

Suma soluțiilor: $x_1 + x_2 = 10 + 100 = 110$.

3. Determinați mulțimea valorilor reale $m > 0$ pentru care ecuația
$$\lg(x^2 + 4x + 5) = \lg(x + 3) + \lg m$$
are cel puțin o soluție reală.

a) $m \ge 2$
b) $m \ge \sqrt{2} - 1$
c) $m \ge 2\sqrt{2} - 2$
d) $m \ge \sqrt{2}$

Răspuns corect: c) $m \ge 2\sqrt{2} - 2$

**Condiții de existență:** $x^2 + 4x + 5 > 0$ (discriminant $= -4 < 0$, deci mereu adevărat), $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$, și $m > 0$.

**Ecuația echivalentă** (în domeniu):

$$x^2 + 4x + 5 = m(x + 3) \Rightarrow m = \frac{x^2 + 4x + 5}{x + 3}, \quad x > -3$$

**Substituție** $u = x + 3 > 0$ (deci $x = u - 3$):

$$m = \frac{(u-3)^2 + 4(u-3) + 5}{u} = \frac{u^2 - 2u + 2}{u} = u - 2 + \frac{2}{u}$$

**Minimizare** prin inegalitatea AM-GM:

$$u + \frac{2}{u} \ge 2\sqrt{u \cdot \frac{2}{u}} = 2\sqrt{2}$$

cu egalitate la $u = \sqrt{2}$, deci:

$$m \ge 2\sqrt{2} - 2 = 2(\sqrt{2} - 1)$$

**Verificare:** la $u = \sqrt{2}$ ($x = \sqrt{2} - 3 \approx -1{,}59 > -3$), $m = \sqrt{2} - 2 + \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 2 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 2$.

Mulțimea valorilor este $m \in \bigl[2\sqrt{2} - 2,\; +\infty\bigr)$.

4. Suma $x + y$ a soluției pozitive $(x,\, y)$ a sistemului
$$\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 5 \\ \log_2 x - \log_2 y = 1 \end{cases}$$
este:

a) $32$
b) $12$
c) $4$
d) $6$

Răspuns corect: b) $12$

**Condiții de existență:** $x > 0$ și $y > 0$.

**Adunând** ecuațiile: $2\log_2 x = 6 \Rightarrow \log_2 x = 3 \Rightarrow x = 8$.

**Scăzând** a doua ecuație din prima:

$$2\log_2 y = 4 \Rightarrow \log_2 y = 2 \Rightarrow y = 4$$

**Verificare:** $\log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$; $\log_2 8 - \log_2 4 = 3 - 2 = 1$

$$x + y = 8 + 4 = 12$$

5. Mulțimea soluțiilor inecuației $\log_5(2x-3)>1$ este:

a) $(-\infty,4)$
b) $[4,\infty)$
c) $(4,\infty)$
d) $\left(\dfrac{3}{2},\infty\right)$

Răspuns corect: c) $(4,\infty)$

Condiția de existență: $2x-3>0$, adică $x>\dfrac{3}{2}$.

Cum baza $5>1$: $\log_5(2x-3)>1 \iff 2x-3>5 \iff x>4$.

Intersecția cu domeniul dă
$$x\in(4,\infty)$$

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #001](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-bac-i)
- [Matematică #007](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-10-logaritmi-exponentiale)