[canonical]: https://grile.online/matematica/limite-de-siruri

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/limite-de-siruri
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Limite de șiruri · Matematică

9 grile, în 2 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Pentru $n\ge 4$ are loc încadrarea $0<\dfrac{2^n}{n!}\le 2\left(\dfrac12\right)^{n-3}$. Rezultă că $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{2^n}{n!}$ este:

a) $2$
b) $+\infty$
c) $0$
d) $1$

Răspuns corect: c) $0$

Marginea superioară $2\left(\dfrac12\right)^{n-3}$ este un șir geometric cu rație subunitară, deci tinde la $0$.

Prin criteriul cleștelui:
$$\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n!}=0.$$

Verificare numerică: pentru $n=10$, $\dfrac{1024}{3\,628\,800}\approx 0{,}00028$

2. Pentru $n\ge 1$ are loc încadrarea $1\le\sqrt[n]{n}\le 1+\dfrac{2}{\sqrt n}$. Rezultă că $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}$ este:

a) $1$
b) $e$
c) $0$
d) $+\infty$

Răspuns corect: a) $1$

$$\lim_{n\to\infty}1=1,\qquad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{\sqrt n}\right)=1,$$
deci prin criteriul cleștelui
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.$$

Încadrarea din dreapta se obține din inegalitatea mediilor aplicată produsului $\sqrt n\cdot\sqrt n\cdot 1\cdots 1$.

3. Șirul $a_n=(-1)^n$ este:

a) convergent la $1$
b) convergent la $-1$
c) convergent la $0$
d) divergent

Răspuns corect: d) divergent

Termenii sunt $-1,\ 1,\ -1,\ 1,\dots$ Subșirul termenilor de rang par tinde la $1$, iar cel de rang impar la $-1$.

Cum două subșiruri au limite diferite, șirul **nu are limită**: este divergent.

(Este totuși **mărginit** — deci mărginirea singură nu garantează convergența.)

4. Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}{n}$ este:

a) $\dfrac12$
b) $1$
c) $0$
d) $2$

Răspuns corect: a) $\dfrac12$

$$\frac n2-1<\left\lfloor\frac n2\right\rfloor\le\frac n2.$$

Împărțind la $n$:
$$\frac12-\frac1n<\frac{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}{n}\le\frac12,$$
iar ambele margini tind la $\dfrac12$.

Verificare: pentru $n$ par raportul este exact $\dfrac12$; pentru $n$ impar este $\dfrac{n-1}{2n}\to\dfrac12$

5. Orice șir convergent este:

a) monoton
b) mărginit
c) crescător
d) cu toți termenii pozitivi

Răspuns corect: b) mărginit

Orice șir **convergent** este mărginit.

Justificare: de la un rang $N$ încolo toți termenii sunt în intervalul $(\ell-1,\ \ell+1)$; cei $N$ termeni rămași sunt în număr finit, deci mărginiți.

Reciproca este falsă: $(-1)^n$ este mărginit, dar divergent. Iar convergența **nu** implică monotonie: $\dfrac{(-1)^n}{n}$ converge fără a fi monoton.

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #013](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-11-limite)
- [Matematică #019](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-atm)