[canonical]: https://grile.online/matematica/limite-de-functii

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/limite-de-functii
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Limite de funcții · Matematică

15 grile, în 4 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Calculați $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{2x}$.

a) $0$
b) $2$
c) $\dfrac{5}{2}$
d) $5$
e) $10$
f) $+\infty$

Răspuns corect: c) $\dfrac{5}{2}$

$\dfrac{\sin(5x)}{2x} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{\sin(5x)}{5x} \to \dfrac{5}{2} \cdot 1$ când $x \to 0$.

2. Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[x-\ln\left(e^{x}+1\right)\right]$ este:

a) $-\ln 2$
b) $0$
c) $-\infty$
d) $1$

Răspuns corect: b) $0$

Scoatem $e^x$ factor sub logaritm:
$$\ln\left(e^{x}+1\right)=\ln\left[e^{x}\left(1+e^{-x}\right)\right]=x+\ln\left(1+e^{-x}\right).$$

Prin urmare
$$x-\ln\left(e^{x}+1\right)=-\ln\left(1+e^{-x}\right).$$

Cum $e^{-x}\to 0$ când $x\to+\infty$:
$$-\ln\left(1+e^{-x}\right)\to-\ln 1=0.$$

Observație: $-\ln 2$ ar fi valoarea în $x=0$, nu limita la $+\infty$.

3. Fie $f(x)=\begin{cases}3x-1, & x<2\\x^2-3, & x\ge2\end{cases}$. Limita $\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)$:

a) nu există — limitele laterale sunt $5$ și $1$
b) există și este egală cu $1$
c) există și este egală cu $3$
d) există și este egală cu $5$

Răspuns corect: a) nu există — limitele laterale sunt $5$ și $1$

$\displaystyle\lim_{x\to2^-}(3x-1)=5$. $\displaystyle\lim_{x\to2^+}(x^2-3)=1$.

Limitele laterale sunt diferite ($5\ne1$), deci limita

$$\text{nu există.}$$

4. Determinați $a\in\mathbb R$ astfel încât limita $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)$ să existe, unde $f(x)=\begin{cases}2x+a, & x<0\\x^2+3, & x\ge0\end{cases}$.

a) $3$
b) $2$
c) $-3$
d) $0$

Răspuns corect: a) $3$

$\displaystyle\lim_{x\to0^-}(2x+a)=a$. $\displaystyle\lim_{x\to0^+}(x^2+3)=3$.

Limita există dacă

$$a=3.$$

5. Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ este:

a) $0$
b) $1$
c) $e^2$
d) $2$

Răspuns corect: d) $2$

$$\frac{e^{2x}-1}{x}=2\cdot\frac{e^{2x}-1}{2x}.$$

Cu $t=2x\to 0$ și $\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1$:
$$\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}=2\cdot1=2.$$

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #001](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-bac-i)
- [Matematică #013](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-11-limite)
- [Matematică #019](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-atm)
- [Matematică #020](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-upb)