[canonical]: https://grile.online/matematica/legi-de-compozitie

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/legi-de-compozitie
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Legi de compoziție · Matematică

6 grile, în 2 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Pe $\mathbb R$ se definește legea $x*y=x+y-3$. Această lege este:

a) fără sens pentru $x=3$
b) necomutativă
c) comutativă
d) comutativă doar pentru $x,y>0$

Răspuns corect: c) comutativă

$$x*y=x+y-3,\qquad y*x=y+x-3.$$

Cum adunarea numerelor reale este comutativă, cele două expresii coincid, deci legea este **comutativă**.

2. Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x \ast y = 2xy + 2x + 2y + 1$. Elementul neutru al legii $\ast$ este:

a) $-\dfrac{1}{2}$
b) $\dfrac{1}{2}$
c) $0$
d) $-1$

Răspuns corect: a) $-\dfrac{1}{2}$

$x \ast e = 2xe + 2x + 2e + 1 = x \Rightarrow 2e(x+1) = -(x+1) \Rightarrow e = -\dfrac{1}{2}.$

Verificare: $2x\left(-\tfrac12\right) + 2x + 2\left(-\tfrac12\right) + 1 = -x + 2x - 1 + 1 = x.$

3. Pe $\mathbb R$ se definește legea $x*y=x+y+xy$. Această lege este:

a) necomutativă
b) asociativă doar pe $(0,\infty)$
c) neasociativă
d) asociativă

Răspuns corect: d) asociativă

$$(x*y)*z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz,$$
$$x*(y*z)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyz.$$

Cele două expresii coincid, deci legea este **asociativă**.

Motivul ascuns: $x*y=(x+1)(y+1)-1$, iar asociativitatea se moștenește de la înmulțire.

4. Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x \ast y = 5xy - 5x - 5y + 6$. Elementul neutru al legii $\ast$ este:

a) $\dfrac{5}{6}$
b) $6$
c) $\dfrac{6}{5}$
d) $1$

Răspuns corect: c) $\dfrac{6}{5}$

$x \ast e = 5xe - 5x - 5e + 6 = x \Rightarrow 5e(x - 1) = 6x - 6 = 6(x - 1) \Rightarrow e = \dfrac{6}{5}.$

Verificarea confirmă că $e = \dfrac{6}{5}$ este neutru pentru orice $x$.

5. Pe $\mathbb R$ se definește legea $x*y=2xy$. Atunci $(x*y)*z$ este egal cu:

a) $4xyz$
b) $xyz$
c) $2xyz$
d) $8xyz$

Răspuns corect: a) $4xyz$

$$(x*y)*z=(2xy)*z=2\cdot(2xy)\cdot z=4xyz.$$

Verificare a asociativității: $x*(y*z)=2x(2yz)=4xyz$ — aceeași valoare, deci legea **este** asociativă.

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #017](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-12-legi-compozitie-grupuri)
- [Matematică #019](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-atm)