[canonical]: https://grile.online/matematica/integrale-recursive

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/integrale-recursive
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Integrale recursive · Matematică

8 grile, în 1 set, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Fie $I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx$. Atunci $\displaystyle\lim_{n\to\infty}I_n$ este:

a) $0$
b) $\dfrac\pi2$
c) $\dfrac\pi4$
d) $1$

Răspuns corect: a) $0$

Pe intervalul $\left[0,\dfrac\pi2\right)$ avem $0\le\sin x<1$, deci $\sin^nx$ scade la $0$ în fiecare punct, iar șirul $(I_n)$ este descrescător și mărginit inferior de $0$.

Din recurența $I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$ rezultă $I_nI_{n-1}=\dfrac{\pi}{2n}\to 0$, ceea ce confirmă
$$\lim_{n\to\infty}I_n=0.$$

(Numeric: $I_2=\dfrac\pi4\approx 0{,}785$, $I_4=\dfrac{3\pi}{16}\approx 0{,}589$, $I_6=\dfrac{15\pi}{96}\approx 0{,}491$ — scădere lentă, dar sigură spre $0$.)

2. Fie $I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx$, cu $I_1=1$ și recurența $I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$. Atunci $I_3$ este:

a) $\dfrac{\pi}{4}$
b) $\dfrac12$
c) $\dfrac23$
d) $\dfrac34$

Răspuns corect: c) $\dfrac23$

$$I_3=\frac23I_1=\frac23\cdot 1=\frac23.$$

Observă contrastul: pentru indici **pari** apare $\pi$ (fiindcă lanțul se oprește la $I_0=\dfrac\pi2$), iar pentru indici **impari** rezultatul este rațional (lanțul se oprește la $I_1=1$).

3. Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^1x^n\sin x\,dx$ este:

a) $0$
b) $1-\cos 1$
c) $\sin 1$
d) $1$

Răspuns corect: a) $0$

Pentru $x\in[0,1]$ avem $0\le\sin x\le 1$, deci
$$0\le\int_0^1x^n\sin x\,dx\le\int_0^1x^n\,dx=\frac{1}{n+1}.$$

Prin criteriul cleștelui, limita este $0$.

Ideea generală: pentru orice funcție **mărginită** $g$, avem $\displaystyle\int_0^1x^ng(x)\,dx\to 0$ — factorul $x^n$ „stinge” totul.

4. Fie $I_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{x+1}\,dx$, $n\ge 1$. Atunci $I_n+I_{n-1}$ este:

a) $\ln 2$
b) $\dfrac{1}{n+1}$
c) $\dfrac{1}{n(n+1)}$
d) $\dfrac1n$

Răspuns corect: d) $\dfrac1n$

$$I_n+I_{n-1}=\int_0^1\frac{x^n+x^{n-1}}{x+1}\,dx=\int_0^1\frac{x^{n-1}(x+1)}{x+1}\,dx=\int_0^1x^{n-1}\,dx=\frac1n.$$

Simplificarea numitorului este toată ideea. (Pentru referință: $I_0=\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x+1}=\ln 2$, deci $I_1=1-\ln 2$.)

5. Fie $J_n=\displaystyle\int_1^2x^n\,dx$. Atunci $\displaystyle\lim_{n\to\infty}J_n$ este:

a) $1$
b) $\dfrac12$
c) $0$
d) $+\infty$

Răspuns corect: d) $+\infty$

$$J_n=\frac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_1^2=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}.$$

Cum exponențiala $2^{n+1}$ crește mult mai repede decât liniarul $n+1$,
$$\lim_{n\to\infty}J_n=+\infty.$$

Contrast instructiv cu $\displaystyle\int_0^1x^n\,dx\to 0$: pe $[0,1]$ avem $x^n\to 0$, dar pe $[1,2]$ integrandul **explodează**. Poziția intervalului față de $x=1$ decide totul.

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #016](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-12-integrale-definite)