[canonical]: https://grile.online/matematica/integrala-definita

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/integrala-definita
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Integrala definită · Matematică

11 grile, în 3 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Aria mărginită de graficele funcțiilor $y=x$ și $y=x^{3}$ pe intervalul $[-1,1]$ este:

a) $0$
b) $\dfrac12$
c) $1$
d) $\dfrac14$

Răspuns corect: b) $\dfrac12$

**Poziția relativă.** $x-x^3=x\left(1-x^2\right)$:
- pe $(0,1)$: pozitiv, deci $y=x$ e deasupra;
- pe $(-1,0)$: negativ, deci $y=x^3$ e deasupra.

Aria cere **modulul**, deci se sparge integrala. Prin simetrie (integrandul $\left|x-x^3\right|$ este par):
$$\mathcal A=2\int_0^1\left(x-x^3\right)dx=2\left(\frac12-\frac14\right)=2\cdot\frac14=\frac12.$$

Observație: $\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(x-x^3\right)dx=0$ (funcție impară) — dar aceasta **nu** este aria, ci diferența algebrică a celor două bucăți.

2. Aria subgraficului funcției $f:[1,e]\to\mathbb R$, $f(x)=\ln x$, este:

a) $1$
b) $e-1$
c) $e$
d) $\dfrac12$

Răspuns corect: a) $1$

Pe $[1,e]$ avem $\ln x\ge 0$, deci aria este chiar integrala:
$$\mathcal A=\int_1^{e}\ln x\,dx=\left.\left(x\ln x-x\right)\right|_1^{e}=(e-e)-(0-1)=1.$$

Rezultat remarcabil de curat: aria de sub logaritm pe $[1,e]$ este exact $1$.

(Consistent geometric: dreptunghiul $[1,e]\times[0,1]$ are aria $e-1\approx1{,}718$, iar curba taie din el ceva mai mult de jumătate.)

3. Aria mărginită de elipsa de ecuație $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ este:

a) $6\pi$
b) $12\pi$
c) $\dfrac{25\pi}{4}$
d) $36\pi$

Răspuns corect: a) $6\pi$

Aici $a=3$ (semiaxa pe $Ox$) și $b=2$ (semiaxa pe $Oy$). Ramura superioară este
$$y=2\sqrt{1-\frac{x^2}{9}},$$
deci
$$\mathcal A=2\int_{-3}^{3}2\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\,dx.$$

Cu substituția $x=3\sin t$ integrala se reduce la $\displaystyle\int\cos^2$, iar rezultatul este
$$\mathcal A=\pi ab=\pi\cdot 3\cdot 2=6\pi.$$

(Verificat prin integrare directă cu sympy: $6\pi\approx 18{,}85$.)

Observație: pentru $a=b=R$ formula devine $\pi R^2$ — aria discului.

4. Pentru orice funcție continuă $f$, valoarea lui $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx$ este:

a) $\left|\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\right|$
b) $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$
c) $-\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$
d) $0$

Răspuns corect: c) $-\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$

$$\int_b^a f=F(a)-F(b)=-\bigl(F(b)-F(a)\bigr)=-\int_a^b f.$$

Inversarea limitelor schimbă semnul — motiv pentru care integrala definită **nu** este întotdeauna o arie, ci o arie **cu semn**.

5. Aria mărginită de graficul funcției $f(x)=x^{2}-4x+3$ și axa $Ox$, pe intervalul $[1,3]$, este:

a) $0$
b) $-\dfrac43$
c) $\dfrac43$
d) $\dfrac83$

Răspuns corect: c) $\dfrac43$

**Semnul.** $f(x)=(x-1)(x-3)$, deci pe $(1,3)$ avem $f(x)<0$ (de exemplu $f(2)=-1$).

Aria este integrala **modulului**, adică opusul integralei:
$$\mathcal A=\int_1^3\left|f(x)\right|dx=-\int_1^3\left(x^2-4x+3\right)dx.$$

Calculăm:
$$\int_1^3\left(x^2-4x+3\right)dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)\right|_1^3=(9-18+9)-\left(\frac13-2+3\right)=0-\frac43=-\frac43.$$

Deci
$$\mathcal A=\frac43.$$

O arie este întotdeauna $\ge 0$ — de aceea varianta negativă e greșită.

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #016](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-12-integrale-definite)
- [Matematică #019](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-atm)
- [Matematică #020](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-upb)