[canonical]: https://grile.online/matematica/inele-si-corpuri

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/inele-si-corpuri
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Inele și corpuri · Matematică

20 grile, în 1 set, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Structura $(\mathbb Z,+,\cdot)$ este inel comutativ cu element unitate, dar NU este corp, deoarece:

a) înmulțirea nu este asociativă pe $\mathbb Z$
b) nu orice element nenul are invers față de înmulțire în $\mathbb Z$
c) adunarea nu este comutativă pe $\mathbb Z$
d) $\mathbb Z$ nu are element neutru la adunare

Răspuns corect: b) nu orice element nenul are invers față de înmulțire în $\mathbb Z$

Adunarea și înmulțirea pe $\mathbb Z$ au toate proprietățile de inel comutativ unitar. Însă, de exemplu, $2\in\mathbb Z$ nu are invers multiplicativ în $\mathbb Z$ (ar fi $\tfrac12\notin\mathbb Z$), deci nu orice element nenul e inversabil.

$$\mathbb Z\text{ nu este corp}$$

2. Structura $(\mathbb Z_p,+,\cdot)$ este corp exact atunci când $p$ este:

a) număr par
b) pătrat perfect
c) număr compus
d) număr prim

Răspuns corect: d) număr prim

$\mathbb Z_n$ este corp doar dacă orice element nenul e inversabil, adică prim cu $n$; asta se întâmplă pentru toate clasele nenule exact când $n$ nu are divizori proprii, adică atunci când $n=p$ este prim.

$$p\text{ este prim}$$

3. Numărul elementelor inversabile ale inelului $(\mathbb{Z}_{12}, +, \cdot)$ este:

a) $6$
b) $3$
c) $11$
d) $4$

Răspuns corect: d) $4$

Elementul $\hat a$ este inversabil în $\mathbb{Z}_{12}$ exact atunci când $\gcd(a,12)=1$.

Verificăm $a \in \{1,2,\dots,11\}$: $\gcd(1,12)=1$, $\gcd(5,12)=1$, $\gcd(7,12)=1$, $\gcd(11,12)=1$; toate celelalte ($2,3,4,6,8,9,10$) au un factor comun cu $12 = 2^2\cdot 3$.

Elementele inversabile sunt $\{\hat1, \hat5, \hat7, \hat{11}\}$, deci numărul lor este:

$$\varphi(12) = 12\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac13\right) = 12\cdot\frac12\cdot\frac23 = 4$$

Verificare prin enumerare directă: $\{1,5,7,11\}$ — exact $4$ elemente.

4. Pentru care dintre următoarele valori ale lui $n$, inelul $(\mathbb{Z}_n, +, \cdot)$ este corp?

a) $n = 6$
b) $n = 4$
c) $n = 9$
d) $n = 11$

Răspuns corect: d) $n = 11$

Inelul $(\mathbb{Z}_n, +, \cdot)$ este corp dacă și numai dacă $n$ este **prim** — doar atunci fiecare clasă nenulă $\hat{a}$ are $\gcd(a,n)=1$, deci este inversabilă.

Dintre valorile date, $4 = 2^2$, $6 = 2\cdot 3$, $9 = 3^2$ sunt numere compuse, deci $\mathbb{Z}_4$, $\mathbb{Z}_6$, $\mathbb{Z}_9$ au divizori ai lui zero (de exemplu $\hat 2 \cdot \hat 2 = \hat 0$ în $\mathbb{Z}_4$) și nu sunt corpuri.

Singura valoare primă este $n = 11$.

Verificare: în $\mathbb{Z}_{11}$ fiecare din elementele $\hat1,\dots,\hat{10}$ este inversabil (numărul elementelor inversabile este $\varphi(11)=10$, adică toate cele $10$ elemente nenule), deci $\mathbb{Z}_{11}$ este corp.

5. Un inel este o mulțime nevidă cu două operații $+$ și $\cdot$ astfel încât:

a) $(R, +)$ este un grup; $(R, \cdot)$ este un grup
b) $(R, +)$ este un monoid; $\cdot$ este comutativă
c) $(R, +)$ este un grup; $\cdot$ este asociativă
d) $(R, +)$ este un grup abelian; $\cdot$ este asociativă; $\cdot$ este distributivă față de $+$

Răspuns corect: d) $(R, +)$ este un grup abelian; $\cdot$ este asociativă; $\cdot$ este distributivă față de $+$

Un inel: grup abelian față de $+$, $\cdot$ asociativă și distributivitate lui $\cdot$ față de $+$. (Unele definiții cer și existența elementului neutru multiplicativ.)

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #040](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-12-inele-corpuri)