[canonical]: https://grile.online/matematica/inele-de-polinoame

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/inele-de-polinoame
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Inele de polinoame · Matematică

21 grile, în 2 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Care dintre următoarele polinoame este reductibil peste $\mathbb{R}$?

a) $X^2+1$
b) $X^2+4$
c) $X^2-4$
d) $X^2+X+1$

Răspuns corect: c) $X^2-4$

$X^2-4=(X-2)(X+2)$, deci reductibil.

Celelalte au discriminant negativ: $\Delta(X^2+1)=-4$, $\Delta(X^2+X+1)=-3$, $\Delta(X^2+4)=-16$ — toate ireductibile peste $\mathbb{R}$.

$$X^2-4=(X-2)(X+2)$$

2. Se consideră polinomul $P=X^3-3X^2+mX-4\in\mathbb{R}[X]$, cu $m\in\mathbb{R}$ parametru. Valoarea lui $m$ pentru care $(X-2)\mid P$ este:

a) $-4$
b) $2$
c) $8$
d) $4$

Răspuns corect: d) $4$

$P(2)=8-12+2m-4=2m-8$. Condiția $P(2)=0$ dă $2m-8=0$.

$$m=4$$

3. Fie $x_1,x_2,x_3,x_4\in\mathbb{C}$ rădăcinile polinomului $f(X)=X^4-5X^3+2X^2+X-3$. Suma $x_1+x_2+x_3+x_4$ este:

a) $-5$
b) $2$
c) $5$
d) $-3$

Răspuns corect: c) $5$

Pentru $X^4+c_3X^3+c_2X^2+c_1X+c_0$, suma rădăcinilor este $-c_3$. Aici $c_3=-5$, deci

$$x_1+x_2+x_3+x_4=5.$$

4. Polinomul $f(X)=X^3+X-1\in\mathbb{Q}[X]$ este:

a) reductibil, cu rădăcina $1$
b) ireductibil peste $\mathbb{Q}$
c) reductibil, cu rădăcina $-1$
d) reductibil, cu rădăcina $\dfrac{1}{2}$

Răspuns corect: b) ireductibil peste $\mathbb{Q}$

Fiind cubic cu coeficienți întregi și coeficientul dominant $1$, singurii candidați raționali sunt divizorii termenului liber: $\pm1$.

$$f(1)=1+1-1=1\neq0,\qquad f(-1)=-1-1-1=-3\neq0.$$

Niciun candidat nu e rădăcină, deci $f$ nu are nicio rădăcină rațională. Cum un polinom de gradul $3$ reductibil peste $\mathbb{Q}$ ar trebui să aibă un factor liniar (deci o rădăcină rațională), $f$ este ireductibil.

$$\text{ireductibil peste }\mathbb{Q}$$

5. Mulțimea rădăcinilor polinomului $P=X^3+2X+2\in\mathbb{Z}_5[X]$ — clasele $\hat{x}$ pentru care $P(\hat{x})=\hat{0}$ — este:

a) $\{\hat{0},\hat{4}\}$
b) $\{\hat{2},\hat{4}\}$
c) $\{\hat{1},\hat{3}\}$
d) $\{\hat{0},\hat{2}\}$

Răspuns corect: c) $\{\hat{1},\hat{3}\}$

Se testează $x\in\{0,1,2,3,4\}$: $P(0)=2$, $P(1)=1+2+2=5\equiv0$, $P(2)=8+4+2=14\equiv4$, $P(3)=27+6+2=35\equiv0$, $P(4)=64+8+2=74\equiv4\pmod5$.

Doar $x=1$ și $x=3$ dau restul $\hat{0}$.

$$\{\hat{x}\in\mathbb{Z}_5:P(\hat{x})=\hat{0}\}=\{\hat{1},\hat{3}\}$$

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #018](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-12-polinoame)
- [Matematică #019](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-atm)