[canonical]: https://grile.online/matematica/grupuri

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/grupuri
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Grupuri · Matematică

7 grile, în 1 set, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. În grupul $\left(\mathbb Z_5,+\right)$, ordinul elementului $\hat 1$ este:

a) $2$
b) $1$
c) $5$
d) $4$

Răspuns corect: c) $5$

$$\hat 1,\ \hat 2,\ \hat 3,\ \hat 4,\ \hat 5=\hat 0,$$
deci primul $k$ pentru care se obține $\hat 0$ este $k=5$.

Așadar $\hat 1$ generează întreg grupul: $\left(\mathbb Z_5,+\right)$ este **ciclic**.

2. Pe mulțimea $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$ se definește legea de compoziție $x \ast y = xy + 2x + 2y + c$, unde $c$ este număr real. Valoarea lui $c$ pentru care $(\mathbb{R} \setminus \{-2\}, \ast)$ este grup este:

a) $4$
b) $-2$
c) $2$
d) $6$

Răspuns corect: c) $2$

$f(x) = x + 2$ dă $f(x \ast y) = x \ast y + 2 = xy + 2x + 2y + c + 2$, iar $f(x) f(y) = (x+2)(y+2) = xy + 2x + 2y + 4$.

Egalând constantele: $c + 2 = 4 \Rightarrow c = 2$. Atunci elementul neutru este $-1$, iar structura este grup, izomorf cu $(\mathbb{R}^\ast, \cdot)$.

3. Fie $(G,\cdot)$ un grup finit cu $|G|=15$. Care dintre următoarele numere NU poate fi ordinul unui subgrup al lui $G$?

a) $6$
b) $5$
c) $15$
d) $3$

Răspuns corect: a) $6$

Divizorii lui $15$ sunt $1,3,5,15$. Orice subgrup al lui $G$ poate avea doar unul dintre aceste ordine, deci $6$ este exclus (nu divide $15$).

$$6$$

4. O submulțime nevidă $H$ a unui grup $(G,*)$ este **subgrup** dacă:

a) $H$ are același număr de elemente ca $G$
b) $H$ conține elementul neutru
c) $H$ este parte stabilă și, pentru orice $x\in H$, simetricul lui $x$ este tot în $H$
d) $H$ este finită

Răspuns corect: c) $H$ este parte stabilă și, pentru orice $x\in H$, simetricul lui $x$ este tot în $H$

$H$ este subgrup dacă este închisă la lege și la luarea simetricului (de unde rezultă automat și că $e\in H$).

Criteriul practic: $H\ne\varnothing$ și $x*y'\in H$ pentru orice $x,y\in H$.

(Faptul că $H$ conține elementul neutru este **necesar**, dar nu suficient.)

5. O mulțime $G$ cu o lege de compoziție formează **grup** dacă legea este asociativă, are element neutru și:

a) este comutativă
b) orice element are simetric
c) legea este distributivă
d) $G$ este finită

Răspuns corect: b) orice element are simetric

Un grup este un monoid în care **orice** element are simetric.

Comutativitatea **nu** este cerută; grupurile comutative se numesc *abeliene* și formează o subclasă.

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #017](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-12-legi-compozitie-grupuri)