[canonical]: https://grile.online/matematica/ecuatii-matriceale

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/ecuatii-matriceale
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Ecuații matriceale · Matematică

6 grile, în 2 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Pentru

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{și} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$$

rezolvați ecuația matriceală $XA = B$. Atunci $X$ este egal cu:

a) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
b) $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
c) $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$
d) $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}$

Răspuns corect: c) $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

Din $XA = B$ rezultă $X = B \cdot A^{-1}$; cu $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$, obținem $X = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$.

2. Soluția ecuației $\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}\,X=\begin{pmatrix}4\\ 9\end{pmatrix}$ este:

a) $\begin{pmatrix}8\\ 27\end{pmatrix}$
b) $\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix}$
c) $\begin{pmatrix}2\\ \dfrac{9}{2}\end{pmatrix}$
d) $\begin{pmatrix}4\\ 9\end{pmatrix}$

Răspuns corect: b) $\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix}$

Ecuația este echivalentă cu sistemul
$$\begin{cases}2x_1=4\\ 3x_2=9\end{cases}\ \Rightarrow\ x_1=2,\ x_2=3.$$

$$X=\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix}.$$

Verificare: $\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\ 9\end{pmatrix}$

3. Soluțiile ecuațiilor $AX=B$ și $XA=B$ (cu $A$ inversabilă) coincid:

a) niciodată
b) numai dacă $B=O$
c) întotdeauna
d) numai dacă $A^{-1}$ și $B$ comută

Răspuns corect: d) numai dacă $A^{-1}$ și $B$ comută

Soluțiile sunt $A^{-1}B$, respectiv $BA^{-1}$; ele coincid exact când
$$A^{-1}B=BA^{-1},$$
adică atunci când $A^{-1}$ și $B$ **comută**.

În general acest lucru nu se întâmplă — de aceea cele două ecuații trebuie tratate diferit. (Un caz în care coincid: $B=I$, când ambele dau $X=A^{-1}$.)

4. Dacă $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ este inversabilă și $XA=B$, atunci $X$ este egal cu:

a) $AB^{-1}$
b) $B^{-1}A$
c) $A^{-1}B$
d) $BA^{-1}$

Răspuns corect: d) $BA^{-1}$

Din $XA=B$, înmulțind ambii membri la dreapta cu $A^{-1}$:

$$XAA^{-1}=BA^{-1} \Rightarrow XI_n=BA^{-1} \Rightarrow X=BA^{-1}.$$

5. Fie $A=\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$ și $B=\begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix}$. Soluția $X$ (matrice $2\times1$) a ecuației $AX=B$ este egală cu:

a) $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$
b) $\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$
c) $\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$
d) $\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$

Răspuns corect: a) $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

$\det A = 3\cdot2-1\cdot5=6-5=1$.

$$A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}.$$

$$X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot4-1\cdot7\\-5\cdot4+3\cdot7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}.$$

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #002](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-bac-ii)
- [Matematică #011](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-11-matrice)