[canonical]: https://grile.online/matematica/distante-si-arii

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/distante-si-arii
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Distanțe și arii · Matematică

7 grile, în 1 set, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Aria triunghiului cu vârfurile $A(0,\,0)$, $B(4,\,0)$, $C(0,\,3)$ este:

a) $6$
b) $12$
c) $5$
d) $7$

Răspuns corect: a) $6$

$$\mathcal A=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=6.$$

($12$ ar fi aria dreptunghiului corespunzător.)

2. Distanța dintre punctele $A(1,\,2)$ și $B(4,\,6)$ este:

a) $7$
b) $\sqrt{13}$
c) $5$
d) $25$

Răspuns corect: c) $5$

$$AB=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=5.$$

3. Aria triunghiului format de axele de coordonate și de dreapta $\dfrac x6+\dfrac y5=1$ este:

a) $30$
b) $11$
c) $\dfrac{11}{2}$
d) $15$

Răspuns corect: d) $15$

Tăieturile pe axe sunt $(6,\,0)$ și $(0,\,5)$, deci catetele au $6$ și $5$:
$$\mathcal A=\frac{6\cdot 5}{2}=15.$$

(Formula generală pentru $\dfrac xa+\dfrac yb=1$: aria triunghiului cu axele este $\dfrac{|ab|}{2}$.)

4. Aria patrulaterului convex cu vârfurile, în ordine, $A(0,\,0)$, $B(4,\,0)$, $C(5,\,3)$, $D(1,\,4)$ este:

a) $\dfrac{29}{2}$
b) $14$
c) $29$
d) $\dfrac{25}{2}$

Răspuns corect: a) $\dfrac{29}{2}$

**Triunghiul $ABC$** ($\overrightarrow{AB}=(4,0)$, $\overrightarrow{AC}=(5,3)$):
$$\mathcal A_1=\frac12\,|4\cdot 3-0\cdot 5|=6.$$

**Triunghiul $ACD$** ($\overrightarrow{AC}=(5,3)$, $\overrightarrow{AD}=(1,4)$):
$$\mathcal A_2=\frac12\,|5\cdot 4-3\cdot 1|=\frac{17}{2}.$$

$$\mathcal A=6+\frac{17}{2}=\frac{29}{2}=14{,}5.$$

Verificare cu formula „șiretului” (Gauss):
$$\mathcal A=\frac12\,|0\cdot 0-4\cdot 0+4\cdot 3-5\cdot 0+5\cdot 4-1\cdot 3+1\cdot 0-0\cdot 4|=\frac{29}{2}$$ ($29$ este dublul ariei — se uită factorul $\dfrac12$.)

5. Mulțimea valorilor lui $k$ pentru care distanța de la origine la punctul $A(k,\,3)$ este $5$ este:

a) $\{-4,4\}$
b) $\{2\}$
c) $\{4\}$
d) $\{-16,16\}$

Răspuns corect: a) $\{-4,4\}$

$$k^2+9=25\ \Rightarrow\ k^2=16\ \Rightarrow\ k=\pm 4.$$

Ambele valori convin: $A(4,3)$ și $A(-4,3)$ sunt ambele la distanța $5$ de origine (simetrice față de $Oy$). Enunțul nu impune $k>0$, deci răspunsul cuprinde ambele.

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #010](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-10-geometrie-analitica)