[canonical]: https://grile.online/matematica/determinanti

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/determinanti
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Determinanți · Matematică

18 grile, în 5 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Calculați $\det\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.

a) $-2$
b) $2$
c) $7$
d) $10$
e) $22$
f) $23$

Răspuns corect: b) $2$

$\det\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 3 \cdot 4 - 5 \cdot 2 = 2$.

2. Fie $f(x) = C_x^3 + \log_2(x+1)$ și matricea

$$A = \begin{pmatrix} f(3) & \tg\dfrac{\pi}{4} & 2^{\lim_{x\to\infty} \frac{x^{23}}{x!}} \\ \dfrac{f(7)}{38} & \log_{\sqrt{3}} f(3) & i^4 \\ \lg 10^{-48} & P_4 & \ln 1 \end{pmatrix}$$

Calculați $\det(A)$.

a) $0$
b) $24$
c) $-72$
d) $48$
e) $-24$
f) $72$

Răspuns corect: a) $0$

Toate elementele se reduc la numere mici ($f(3)=3$, $f(7)/38=1$, $\tg\dfrac{\pi}{4}=1$ etc.), dând matricea numerică $\begin{pmatrix}3&1&1\\1&2&1\\-48&24&0\end{pmatrix}$; dezvoltarea după prima linie dă $\det A = 3(-24) - 1(48) + 1(120) = 0$.

3. Pentru ce valori $m \in \mathbb{R}$ este matricea

$$A = \begin{pmatrix} m & 1 & 0 \\ 1 & m & 1 \\ 0 & 1 & m \end{pmatrix}$$

singulară?

a) $m = 0$ singur
b) $m \in \{-\sqrt{2},\, 0,\, \sqrt{2}\}$
c) $m \in \{-1,\, 0,\, 1\}$
d) $m = \sqrt{2}$ singur
e) $m \in \{-2,\, 0,\, 2\}$
f) niciun $m$ real

Răspuns corect: b) $m \in \{-\sqrt{2},\, 0,\, \sqrt{2}\}$

Dezvoltând după primul rând, $\det A = m(m^2-1) - 1\cdot(m-0) = m^3 - 2m = m(m^2-2)$, care se anulează pentru $m \in \{-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\}$.

4. Fie

$$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Calculați $\det(5A^{-1})$.

a) $5$
b) $\dfrac{5}{125}$
c) $125$
d) $\dfrac{1}{5}$
e) $25$
f) $\dfrac{125}{25}$

Răspuns corect: e) $25$

Dezvoltând după prima linie, $\det A = 5$; cum $\det(cM) = c^n \det M$ și $\det(M^{-1}) = 1/\det M$ pentru $n = 3$, rezultă $\det(5A^{-1}) = 5^3 \cdot \dfrac{1}{5} = 25$.

5. Date

$$\begin{vmatrix} x & 3x+1 \\ -2 & 7 \end{vmatrix} + A_x^2 = 0$$

calculați $x_1^2 + x_2^2$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației.

a) $130$
b) $144$
c) $148$
d) $140$
e) $138$
f) $156$

Răspuns corect: d) $140$

$\begin{vmatrix} x & 3x+1 \\ -2 & 7 \end{vmatrix} = 13x + 2$ și $A_x^2 = x(x-1)$, deci ecuația devine $x^2 + 12x + 2 = 0$; prin relațiile lui Viète, $x_1+x_2=-12$, $x_1x_2=2$, iar $x_1^2+x_2^2 = (-12)^2 - 2\cdot2 = 140$.

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #001](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-bac-i)
- [Matematică #002](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-bac-ii)
- [Matematică #012](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-11-determinanti-sisteme)
- [Matematică #019](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-atm)
- [Matematică #020](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-upb)