[canonical]: https://grile.online/matematica/derivate

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/derivate
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Derivate · Matematică

17 grile, în 4 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Fie $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + 1$. Calculați $f'(2)$.

a) $-1$
b) $1$
c) $3$
d) $5$
e) $8$
f) $17$

Răspuns corect: b) $1$

$f'(x) = 3x^2 - 8x + 5$, deci $f'(2) = 12 - 16 + 5 = 1$.

2. Fie $f:\mathbb R\to\mathbb R$ o funcție derivabilă în $0$, cu $f(0)=0$ și $f'(0)=3$. Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(2x)}{x}$ este:

a) $\dfrac32$
b) $0$
c) $3$
d) $6$

Răspuns corect: d) $6$

Cum $f(0)=0$, putem scrie
$$\frac{f(2x)}{x}=2\cdot\frac{f(2x)-f(0)}{2x}.$$

Notând $t=2x\to 0$, fracția este exact raportul incremental al lui $f$ în $0$:
$$\lim_{x\to0}\frac{f(2x)-f(0)}{2x}=\lim_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}{t}=f'(0)=3.$$

Prin urmare
$$\lim_{x\to0}\frac{f(2x)}{x}=2\cdot 3=6.$$

Observație: ipoteza $f(0)=0$ este esențială — altfel limita ar fi infinită.

3. Funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^3+3x+1$, este bijectivă. Valoarea lui $\left(f^{-1}\right)'(5)$ este:

a) $\dfrac16$
b) $6$
c) $\dfrac{1}{78}$
d) $\dfrac15$

Răspuns corect: a) $\dfrac16$

**Bijectivitatea.** $f'(x)=3x^2+3>0$ pentru orice $x$, deci $f$ e strict crescătoare; fiind și continuă cu limite $\mp\infty$, este bijectivă.

**Punctul.** Căutăm $x$ cu $f(x)=5$:
$$x^3+3x+1=5\iff x^3+3x-4=0.$$
Se observă $x=1$: $1+3-4=0$ (și e unic, prin injectivitate). Deci $f^{-1}(5)=1$.

**Formula derivatei inversei:**
$$\left(f^{-1}\right)'(5)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(5)\right)}=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{3+3}=\frac16.$$

Observație: $f'(5)=78$ — a calcula derivata în $5$ în loc de $1$ este exact capcana.

4. Înălțimea (m) unei mingi aruncate vertical este $h(t) = -5t^2+20t+1$, unde $t\ge 0$ este timpul (secunde). Momentul $t$ la care mingea atinge înălțimea maximă este:

a) $t=1$
b) $t=10$
c) $t=2$
d) $t=4$

Răspuns corect: c) $t=2$

$h'(t)=-10t+20$, se anulează la $t=2$; $h''(t)=-10<0$, deci maxim.

$$t=2.$$

5. Aplicând teorema lui Lagrange funcției $f(x)=x^2$ pe intervalul $[1,3]$, valoarea $c\in(1,3)$
pentru care $f'(c)=\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$ este:

a) $4$
b) $3$
c) $2$
d) $1$

Răspuns corect: c) $2$

$f(3)=9$, $f(1)=1$, deci panta coardei este $\dfrac{9-1}{3-1}=4$.

$f'(x)=2x$, deci $f'(c)=4 \iff c=2$, iar $2\in(1,3)$.

$$c=2.$$

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #001](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-bac-i)
- [Matematică #014](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-11-derivate)
- [Matematică #019](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-atm)
- [Matematică #020](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-upb)