[canonical]: https://grile.online/matematica/continuitate

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/continuitate
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Continuitate · Matematică

20 grile, în 1 set, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Fie $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=\begin{cases}x+1, & x<0\\x-1, & x\ge0\end{cases}$. Punctul $x=0$ este pentru $f$ un punct de discontinuitate de:

a) speța a II-a
b) punct izolat, în afara domeniului
c) continuitate — nu e punct de discontinuitate
d) speța I (salt finit)

Răspuns corect: d) speța I (salt finit)

$\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x+1)=1$. $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x-1)=-1$.

Ambele limite laterale sunt finite, dar diferite ($1\ne-1$), deci $x=0$ e punct de discontinuitate de

$$\text{speța I.}$$

2. Fie $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-3}$. Cel mai mare interval care conține pe $x=2$, pe care $f$ este continuă, este:

a) $(1,3)$
b) $(-\infty,3)$
c) $[1,3)$
d) $[1,\infty)$

Răspuns corect: c) $[1,3)$

Condițiile de existență: $x-1\ge0 \iff x\ge1$, și $x-3\ne0 \iff x\ne3$. Deci domeniul este $D=[1,3)\cup(3,\infty)$.

Pe $D$, $f$ e un cât de funcții continue cu numitor nenul, deci continuă peste tot pe $D$. Intervalul care conține $x=2$ este

$$[1,3).$$

3. Fie
$$f(x)=\begin{cases}x+3, & x\le 1\\ a\cdot x, & x>1\end{cases}.$$
Valoarea parametrului $a$ pentru care $f$ este continuă în $x=1$ este:

a) $1$
b) $4$
c) $3$
d) $\dfrac14$

Răspuns corect: b) $4$

Din prima ramură, $f(1)=1+3=4$.

Limita la dreapta: $\lim_{x\to 1^+}(a\cdot x) = a$.

Pentru continuitate, $a=4$.

Verificare: cu $a=4$, ramura din dreapta la $x=1$ dă $4\cdot1=4=f(1)$.

4. Funcția $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ este continuă pe:

a) $\mathbb{R}\setminus\{2\}$
b) $(-\infty,2)$
c) $(2,+\infty)$
d) $\mathbb{R}$

Răspuns corect: a) $\mathbb{R}\setminus\{2\}$

Numitorul se anulează pentru $x-2=0$, adică $x=2$, punct în care $f$ nu este definită.

Pe restul dreptei reale, $f$ este un raport de funcții elementare continue, deci este continuă. Rezultă că $f$ este continuă pe
$$\mathbb{R}\setminus\{2\}.$$

Verificare: în orice vecinătate a unui punct $x_0\ne 2$, $f$ se comportă ca o funcție rațională obișnuită, fără discontinuități; în $x=2$ funcția nici măcar nu e definită.

5. Fie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$,
$$f(x) = \begin{cases} x+1, & x \le 0 \\ x^2+a, & x > 0 \end{cases}.$$
Pentru ce valoare a lui $a$ este $f$ continuă în $x = 0$?

a) $0$
b) $2$
c) $-1$
d) $1$

Răspuns corect: d) $1$

Calculăm limitele laterale și valoarea în $0$:

$$f(0) = 0 + 1 = 1, \qquad \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-}(x+1) = 1.$$

$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+}(x^2 + a) = a.$$

Pentru continuitate în $x = 0$ avem nevoie de $a = 1$.

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #041](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-11-continuitate)