[canonical]: https://grile.online/matematica/binomul-lui-newton

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/binomul-lui-newton
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Binomul lui Newton · Matematică

12 grile, în 2 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Valoarea sumei $\displaystyle\sum_{k=0}^{8} k \cdot \binom{8}{k}$ este:

a) $1024$
b) $128$
c) $512$
d) $2048$

Răspuns corect: a) $1024$

Din identitatea $k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$:

$$\sum_{k=0}^{n} k\binom{n}{k} = n \sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} = n \cdot 2^{n-1}.$$

Pentru $n = 8$:

$$\sum_{k=0}^{8} k\binom{8}{k} = 8 \cdot 2^7 = 8 \cdot 128 = 1024.$$

2. Numărul natural $n$ verifică egalitatea $\binom{n}{3} = \binom{n}{5}$. Valoarea lui $\binom{n}{4}$ este:

a) $56$
b) $70$
c) $84$
d) $28$

Răspuns corect: b) $70$

Din $\binom{n}{3} = \binom{n}{5}$ și proprietatea $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ rezultă $n - 3 = 5$, deci $n = 8$.

Verificare: $\binom{8}{3} = \binom{8}{5} = 56$.

$$\binom{n}{4} = \binom{8}{4} = \frac{8!}{4!\cdot 4!} = 70.$$

3. Suma $C_7^0+C_7^1+\ldots+C_7^7$ este egală cu:

a) $64$
b) $128$
c) $49$
d) $14$

Răspuns corect: b) $128$

$(1+1)^7 = \sum_{k=0}^{7}C_{7}^{k}$, deci suma căutată este $2^7$.

$$128$$

4. Termenul care conține $x^3$ în dezvoltarea $(x+2)^{5}$ este:

a) $80x^3$
b) $20x^3$
c) $40x^3$
d) $10x^3$

Răspuns corect: c) $40x^3$

Din $5-k=3$ rezultă $k=2$, deci termenul căutat este $T_3 = C_{5}^{2}x^3\cdot2^2 = 10\cdot4\cdot x^3$.

$$40x^3$$

5. Coeficienții binomiali ai termenilor al doilea, al treilea și al patrulea din dezvoltarea $(1+x)^{n}$, luați în această ordine, formează o progresie aritmetică. Valoarea lui $n$ (cu $n\ge4$) este:

a) $2$
b) $7$
c) $9$
d) $14$

Răspuns corect: b) $7$

Condiția $2C_{n}^{2} = C_{n}^{1}+C_{n}^{3}$ devine, după simplificarea prin $n$:

$$2\cdot\dfrac{n-1}{2} = 1+\dfrac{(n-1)(n-2)}{6}$$

Aducând la același numitor: $6(n-1) = 6+(n-1)(n-2)$, adică $n^2-9n+14=0$, cu soluțiile $n=7$ și $n=2$.

Cum se cer $4$ termeni ($n\ge4$), soluția $n=2$ nu convine.

$$n = 7$$

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #009](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-10-combinatorica-binom)
- [Matematică #019](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-atm)