[canonical]: https://grile.online/matematica/asimptote

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/asimptote
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Asimptote · Matematică

3 grile, în 1 set, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Asimptota orizontală spre $+\infty$ a graficului funcției $f(x)=\sqrt{x^2+3x+2}-x$ este dreapta de ecuație:

a) $y=\dfrac32$
b) $y=3$
c) $y=2$
d) $y=0$

Răspuns corect: a) $y=\dfrac32$

Amplificând cu conjugata:
$$\sqrt{x^2+3x+2}-x=\frac{\left(x^2+3x+2\right)-x^2}{\sqrt{x^2+3x+2}+x}=\frac{3x+2}{\sqrt{x^2+3x+2}+x}.$$

Împărțind prin $x>0$:
$$=\frac{3+\dfrac2x}{\sqrt{1+\dfrac3x+\dfrac{2}{x^2}}+1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\frac{3}{1+1}=\frac32.$$

Deci $y=\dfrac32$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$.

(Regulă utilă: $\sqrt{x^2+bx+c}-x\to\dfrac b2$ când $x\to+\infty$.)

2. Asimptota oblică spre $+\infty$ a graficului funcției $f(x)=x\operatorname{arctg} x$ este dreapta de ecuație:

a) $y=\dfrac{\pi}{2}x-1$
b) $y=x-1$
c) $y=\dfrac{\pi}{2}x$
d) $y=\dfrac{\pi}{2}x+1$

Răspuns corect: a) $y=\dfrac{\pi}{2}x-1$

**Panta:**
$$m=\lim_{x\to+\infty}\frac{x\operatorname{arctg} x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{2}.$$

**Ordonata.** Folosim identitatea $\operatorname{arctg} x+\operatorname{arctg}\dfrac1x=\dfrac{\pi}{2}$ pentru $x>0$:
$$n=\lim_{x\to+\infty}\left(x\operatorname{arctg} x-\frac{\pi}{2}x\right)=\lim_{x\to+\infty}x\left(\operatorname{arctg} x-\frac{\pi}{2}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(-x\operatorname{arctg}\frac1x\right).$$

Cu $t=\dfrac1x\to 0^{+}$:
$$=-\lim_{t\to0^{+}}\frac{\operatorname{arctg} t}{t}=-1.$$

Deci asimptota oblică este
$$y=\frac{\pi}{2}x-1.$$

3. Câte asimptote verticale are graficul funcției $f(x)=\dfrac{1}{x^2-4}$?

a) $1$
b) $2$
c) $0$
d) $4$

Răspuns corect: b) $2$

Numitorul se anulează pentru
$$x^2-4=0\iff x\in\{-2,2\},$$
iar numărătorul este constant $1\ne 0$ în ambele puncte.

Deci în ambele puncte limita este infinită (de exemplu $\displaystyle\lim_{x\to2^{+}}f(x)=+\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to2^{-}}f(x)=-\infty$), iar dreptele
$$x=-2\quad\text{și}\quad x=2$$
sunt asimptote verticale.

Răspuns: $2$.

4. Fie $f:\mathbb R\to\mathbb R$ o funcție derivabilă în $0$, cu $f(0)=0$ și $f'(0)=3$. Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(2x)}{x}$ este:

a) $\dfrac32$
b) $0$
c) $3$
d) $6$

Răspuns corect: d) $6$

Cum $f(0)=0$, putem scrie
$$\frac{f(2x)}{x}=2\cdot\frac{f(2x)-f(0)}{2x}.$$

Notând $t=2x\to 0$, fracția este exact raportul incremental al lui $f$ în $0$:
$$\lim_{x\to0}\frac{f(2x)-f(0)}{2x}=\lim_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}{t}=f'(0)=3.$$

Prin urmare
$$\lim_{x\to0}\frac{f(2x)}{x}=2\cdot 3=6.$$

Observație: ipoteza $f(0)=0$ este esențială — altfel limita ar fi infinită.

(din capitolul Derivate)

5. Funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^3+3x+1$, este bijectivă. Valoarea lui $\left(f^{-1}\right)'(5)$ este:

a) $\dfrac16$
b) $6$
c) $\dfrac{1}{78}$
d) $\dfrac15$

Răspuns corect: a) $\dfrac16$

**Bijectivitatea.** $f'(x)=3x^2+3>0$ pentru orice $x$, deci $f$ e strict crescătoare; fiind și continuă cu limite $\mp\infty$, este bijectivă.

**Punctul.** Căutăm $x$ cu $f(x)=5$:
$$x^3+3x+1=5\iff x^3+3x-4=0.$$
Se observă $x=1$: $1+3-4=0$ (și e unic, prin injectivitate). Deci $f^{-1}(5)=1$.

**Formula derivatei inversei:**
$$\left(f^{-1}\right)'(5)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(5)\right)}=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{3+3}=\frac16.$$

Observație: $f'(5)=78$ — a calcula derivata în $5$ în loc de $1$ este exact capcana.

(din capitolul Derivate)

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #014](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-11-derivate)