[canonical]: https://grile.online/matematica/aritmetica-modulara

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/aritmetica-modulara
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Aritmetică modulară · Matematică

20 grile, în 1 set, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Mulțimea $\mathbb{Z}_n$ este formată din:

a) clasele de resturi modulo $n$, adică $\{\hat{0}, \hat{1}, \ldots, \widehat{n-1}\}$
b) numerele întregi $\{0, 1, \ldots, n-1\}$
c) toate numerele întregi $\mathbb{Z}$
d) numerele naturale divizibile cu $n$

Răspuns corect: a) clasele de resturi modulo $n$, adică $\{\hat{0}, \hat{1}, \ldots, \widehat{n-1}\}$

Prin definiție, $\mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ este mulțimea claselor de resturi modulo $n$:

$$\mathbb{Z}_n = \{\hat{0}, \hat{1}, \ldots, \widehat{n-1}\}$$

Fiecare $\hat{k}$ este o clasă de echivalență, nu un număr întreg.

2. În $\mathbb{Z}_6$, produsul $\hat{4}\cdot\hat{3}$ este egal cu:

a) $\hat{2}$
b) $\hat{0}$
c) $\hat{3}$
d) $\hat{1}$

Răspuns corect: b) $\hat{0}$

$4\cdot3=12$, iar $12=2\cdot6+0$, deci $12\equiv0\pmod6$.

Așadar $\hat4\cdot\hat3=\hat0$ în $\mathbb{Z}_6$ — un exemplu de divizori ai lui zero (nici $\hat4$, nici $\hat3$ nu sunt $\hat0$, dar produsul lor este $\hat0$, fenomen posibil doar când modulul $6$ nu e prim). Verificare: $12$ este multiplu de $6$.

3. În $\mathbb{Z}_4$, clasa lui $7$ este:

a) $\hat{1}$
b) $\hat{3}$
c) $\hat{7}$
d) $\hat{0}$

Răspuns corect: b) $\hat{3}$

Împărțim $7$ la $4$ cu rest:

$$7 = 1 \cdot 4 + 3$$

Restul este $3$, deci $\hat{7} = \hat{3}$ în $\mathbb{Z}_4$.

Orice clasă în $\mathbb{Z}_n$ are un reprezentant unic în $\{0, 1, \ldots, n-1\}$.

4. În $\mathbb{Z}_n$, distributivitatea înmulțirii față de adunare se exprimă astfel:

a) $\hat{a} \cdot (\hat{b} \cdot \hat{c}) = \hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{a} \cdot \hat{c}$
b) $\hat{a} \cdot (\hat{b} + \hat{c}) = \hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{a} \cdot \hat{c}$
c) $\hat{a} \cdot (\hat{b} + \hat{c}) = \hat{a} \cdot \hat{b} \cdot \hat{a} \cdot \hat{c}$
d) $\hat{a} + (\hat{b} \cdot \hat{c}) = (\hat{a} + \hat{b}) \cdot (\hat{a} + \hat{c})$

Răspuns corect: b) $\hat{a} \cdot (\hat{b} + \hat{c}) = \hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{a} \cdot \hat{c}$

Pentru orice $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c} \in \mathbb{Z}_n$, înmulțirea este distributivă față de adunare:

$$\hat{a} \cdot (\hat{b} + \hat{c}) = \hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{a} \cdot \hat{c}$$

Aceasta rezultă din proprietatea analoagă pe $\mathbb{Z}$: dacă $a(b+c) = ab + ac$ în $\mathbb{Z}$, atunci aceeași egalitate, redusă modulo $n$, dă identitatea de mai sus în $\mathbb{Z}_n$.

5. Soluția ecuației $\hat{5}\cdot x = \hat{4}$ în $\mathbb{Z}_{13}$ este $x$ egal cu:

a) $\hat{9}$
b) $\hat{6}$
c) $\hat{4}$
d) $\hat{7}$

Răspuns corect: b) $\hat{6}$

Deoarece $\gcd(5,13) = 1$, clasa $\hat{5}$ este inversabilă în $\mathbb{Z}_{13}$, deci ecuația are soluție unică.

Testăm $x = 6$:

$$5 \cdot 6 = 30 = 2\cdot 13 + 4 \implies 30 \equiv 4 \pmod{13}$$

Deci $\hat{5}\cdot\hat{6} = \hat{4}$ în $\mathbb{Z}_{13}$, adică $x = \hat{6}$.

Verificare: $5\cdot 6 = 30$, iar $30 \bmod 13 = 4$.

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #035](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-12-clase-de-resturi)