[canonical]: https://grile.online/matematica/aplicatii-ale-derivatelor

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/aplicatii-ale-derivatelor
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Aplicații ale derivatelor · Matematică

6 grile, în 2 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Abscisa punctului de inflexiune al graficului funcției $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^3-6x^2+9x$, este:

a) $2$
b) $0$
c) $3$
d) $1$

Răspuns corect: a) $2$

$$f'(x)=3x^2-12x+9,\qquad f''(x)=6x-12.$$

$$f''(x)=0\iff x=2,$$
iar $f''<0$ pentru $x<2$ (concavă) și $f''>0$ pentru $x>2$ (convexă) — deci semnul se schimbă efectiv și $x=2$ **este** punct de inflexiune.

Observație: $f'(x)=3\left(x^2-4x+3\right)=0$ dă $x\in\{1,3\}$ — acelea sunt punctele de **extrem local**, nu de inflexiune.

2. Funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ are următorul tabel de variație: $f$ este strict crescătoare
pe $(-\infty,0]$, de la $-\infty$ la $f(0)=3$, iar apoi strict descrescătoare pe $[0,\infty)$,
de la $3$ la $-\infty$. Numărul soluțiilor ecuației $f(x)=1$ este:

a) $2$
b) $0$
c) $1$
d) $3$

Răspuns corect: a) $2$

Pe ramura crescătoare $(-\infty,0]$, $f$ ia toate valorile din $(-\infty,3]$ o singură dată,
deci există exact o soluție cu $f(x)=1$ pe această ramură (căci $1<3$).

Pe ramura descrescătoare $[0,\infty)$, $f$ ia din nou toate valorile din $(-\infty,3]$ o singură
dată, deci mai există exact o soluție acolo.

În total, ecuația $f(x)=1$ are

$$2$$

soluții.

3. Poziția unei particule este $x(t) = t^3 - 3t^2$ (metri, $t \ge 0$ în secunde). Timpul nenul la care particula este momentan în repaus este:

a) $t = -2$
b) $t = 2$
c) $t = 3$
d) $t = 0$

Răspuns corect: b) $t = 2$

$$v(t) = x'(t) = 3t^2 - 6t = 3t(t-2)$$

Ecuația $v(t) = 0$ are soluțiile $t = 0$ și $t = 2$. Cerută este soluția nenulă:

$$t = 2$$

4. Valoarea minimă a funcției $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$, $f(x)=x^{x}$, este:

a) $0$
b) $e^{-\frac1e}$
c) $1$
d) $\dfrac1e$

Răspuns corect: b) $e^{-\frac1e}$

Scriem $f(x)=e^{x\ln x}$ și derivăm:
$$f'(x)=e^{x\ln x}\cdot\left(\ln x+1\right)=x^{x}\left(\ln x+1\right).$$

Cum $x^x>0$, semnul lui $f'$ este dat de $\ln x+1$:
$$f'(x)=0\iff \ln x=-1\iff x=\frac1e,$$
cu $f'<0$ pe $\left(0,\frac1e\right)$ și $f'>0$ pe $\left(\frac1e,+\infty\right)$ — deci minim **global** în $x=\dfrac1e$.

Valoarea:
$$f\!\left(\frac1e\right)=\left(\frac1e\right)^{\frac1e}=e^{-\frac1e}\approx 0{,}6922.$$

Observație: $\dfrac1e\approx0{,}368$ este **abscisa** minimului, nu valoarea lui.

5. Fie $f(x) = x - \ln(1+x)$, definită pe $(-1,\infty)$. Valoarea minimă a funcției $f$ este:

a) $0$
b) $-1$
c) $1$
d) $-\infty$

Răspuns corect: a) $0$

$f'(x)=1-\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{x}{1+x}$, cu numitor pozitiv pe $(-1,\infty)$. Semnul lui $f'$ este semnul lui $x$: negativ pe $(-1,0)$, pozitiv pe $(0,\infty)$ — deci $f$ descrește apoi crește, cu minim în $x=0$.

$$f_{min}=f(0)=0-\ln 1=0.$$

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #014](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-11-derivate)
- [Matematică #020](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-upb)