Mara are un seif care se deschide cu un cod PIN uitat de ea. Codul conține exact 5 cifre (de la 0 la 9), iar după introducerea lor trebuie apăsată tasta 0 pentru confirmare.Mara observă amprente numai pe butoanele 0, 2, 5 și 8. Cum ea nu a greșit niciodată codul și butonul 0 se apasă oricum la confirmare (deci amprenta lui nu e concludentă), deduce că cifrele 2, 5 și 8 trebuie să apară fiecare cel puțin o dată în cod, iar codul nu poate conține alte cifre decât 0, 2, 5 sau 8.Care este numărul maxim de combinații pe care Mara ar trebui să le încerce pentru a deschide seiful?
- 243
- 1024
- 390
- 150
- 240
Codul are 5 poziții, fiecare putând fi 0, 2, 5 sau 8 (45=1024 secvențe posibile), din care se scad cele care omit cel puțin una dintre cifrele 2, 5, 8. Prin incluziune-excluziune: secvențele care omit o cifră fixată folosesc doar 3 simboluri (35=243 fiecare, de 3 ori), cele care omit două cifre fixate folosesc 2 simboluri (25=32 fiecare, de 3 ori), iar cea care omite toate trei folosește un singur simbol (15=1). Numărul de secvențe nepotrivite este 3⋅243−3⋅32+1=634, deci rămân 1024−634=390 combinații posibile.Mara a învățat despre clipboard și câteva scurtături utile:- Clipboard — zonă temporară de memorie ce stochează date copiate, pentru a putea fi lipite (paste) ulterior.
- CTRL+C — copiază selecția curentă în clipboard.
- CTRL+V — inserează conținutul din clipboard la poziția curentă a cursorului (clipboard-ul nu se golește); după inserare, cursorul se mută la sfârșitul conținutului inserat.
- CTRL+A — selectează tot conținutul documentului. Dacă CTRL+A este urmat de CTRL+C, se copiază în clipboard conținutul selectat și cursorul se mută la sfârșit. Dacă CTRL+A este urmat de CTRL+V, cursorul se mută la sfârșit și apoi se inserează conținutul din clipboard.Plecând de la textul MIUB2025, Mara folosește succesiunea CTRL+A, CTRL+C, CTRL+V, CTRL+A, CTRL+V, CTRL+A, CTRL+C, CTRL+V, CTRL+V. Care este lungimea textului rezultat?
- 40
- 48
- 64
- 72
- 96
Urmărind fiecare pas: după CTRL+A, CTRL+C clipboard-ul devine MIUB2025 (8 caractere) și cursorul e la sfârșit; CTRL+V dublează textul la 16 caractere; CTRL+A, CTRL+V mută cursorul la sfârșit și adaugă din nou clipboard-ul (8 caractere, neschimbat), ajungând la 24; CTRL+A, CTRL+C copiază noul conținut întreg (24 caractere) în clipboard; cele două CTRL+V finale adaugă câte 24 caractere, de la 24 la 48, apoi la 72.După o pauză, Furnicuța vrea să se deplaseze pe o frunză reprezentată printr-o matrice pătratică de 10×10 celule. Furnicuța pornește din colțul stânga-jos al frunzei și vrea să ajungă în colțul dreapta-jos, fără să iasă de pe frunză.La un pas, ea poate fie să urce din colțul stânga-jos al unei celule în colțul dreapta-sus al aceleiași celule, fie să coboare din colțul stânga-sus al unei celule în colțul dreapta-jos al aceleiași celule (mereu avansând o celulă spre dreapta). Fie m numărul total de trasee valide. Cât este mmod100 (restul împărțirii lui m la 100)?
- 24
- 42
- 0
- 96
- 76
Fiecare traseu corespunde unei secvențe de 10 pași de +1/−1 în înălțime, pornind și terminând la înălțimea 0, fără să coboare sub 0 — exact un drum Dyck de lungime 10. Numărul acestor drumuri este numărul catalan C5=C105/6=42 (limita de sus, înălțimea 10, nu se atinge niciodată în doar 10 pași care revin la 0, deci nu restrânge suplimentar numărul). Așadar m=42 și mmod100=42.Alexandru are un pachet cu 52 de cărți de joc, ordonat de la As la Rege (întâi romb, apoi treflă, inimă roșie și, în final, inimă neagră).Alexandru extrage 4 cărți consecutive din pachet, iar primele 3 sunt de inimă roșie. Care este probabilitatea ca și a 4-a să fie tot inimă roșie?
- 1110
- 2513
- 134
- 4910
- 131
Pachetul e ordonat, deci 4 cărți consecutive încep la una din pozițiile 1..49. Inimile roșii ocupă pozițiile 27..39. Primele 3 cărți sunt de inimă roșie doar dacă începutul e între 27 și 37 — 11 cazuri. A 4-a e tot inimă roșie doar dacă începutul e între 27 și 36 — 10 cazuri. Probabilitatea este 1110 (nu 4910, care ar presupune extrageri la întâmplare).Scara laterală din Universitatea din București conectează N etaje, numerotate de la 0 la N−1, cu următoarea proprietate: de la etajul i, urcând sau coborând pe scară, Matei ajunge la etajul (i+6)modN, respectiv (i−6)modN.Pentru care dintre următoarele valori ale lui N poate Matei ajunge de la etajul 0 la etajul 1 (urcând și/sau coborând oricât)?
- 2022
- 2023
- 2024
- 2025
- 2026
Din etajul 0, mutările de ±6 (mod N) ating exact multiplii lui gcd(6,N). Etajul 1 este accesibil doar dacă gcd(6,N)=1. Verificând: gcd(6,2022)=6, gcd(6,2023)=1, gcd(6,2024)=2, gcd(6,2025)=3, gcd(6,2026)=2 — singura valoare potrivită este N=2023.