[canonical]: https://grile.online/informatica/probleme-diverse

> Pagina completă: https://grile.online/informatica/probleme-diverse
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Probleme diverse · Informatică

1 grilă, în 1 set, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. La un concurs de biciclete, traseul are o urcare urmată de o coborâre de aceeași lungime (fiecare jumătate din traseu).

Pentru concurenții de mai jos sunt date vitezele medii de urcare și de coborâre, în km/h. Care concurent parcurge traseul complet în cel mai scurt timp?

a) Bogdan vitezomanul: urcă cu $10$, coboară cu $100$.
b) Vasilică: urcă cu $12$, coboară cu $60$.
c) Emil: urcă cu $20$, coboară cu $40$.
d) Eduard: urcă cu $25$, coboară cu $30$.
e) Sorinel fricosul: urcă cu $32$, coboară cu $20$.

Răspuns corect: d) Eduard: urcă cu $25$, coboară cu $30$.

Timpul total pentru un traseu de lungime $2d$ este $\dfrac{d}{v_1}+\dfrac{d}{v_2}$, unde $v_1$ e viteza de urcare și $v_2$ cea de coborâre — deci câștigă concurentul cu suma $\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}$ cea mai mică. Calculând această sumă pentru fiecare: Bogdan $0{,}11$, Vasilică $0{,}1$, Emil $0{,}075$, Eduard $0{,}0733$, Sorinel $0{,}08125$ — minimul este al lui Eduard, deci el câștigă concursul.

2. Mara are un seif care se deschide cu un cod PIN uitat de ea. Codul conține exact $5$ cifre (de la $0$ la $9$), iar după introducerea lor trebuie apăsată tasta $0$ pentru confirmare.

Mara observă amprente numai pe butoanele $0$, $2$, $5$ și $8$. Cum ea nu a greșit niciodată codul și butonul $0$ se apasă oricum la confirmare (deci amprenta lui nu e concludentă), deduce că cifrele $2$, $5$ și $8$ trebuie să apară fiecare cel puțin o dată în cod, iar codul nu poate conține alte cifre decât $0$, $2$, $5$ sau $8$.

Care este numărul maxim de combinații pe care Mara ar trebui să le încerce pentru a deschide seiful?

a) $243$
b) $1024$
c) $390$
d) $150$
e) $240$

Răspuns corect: c) $390$

Codul are $5$ poziții, fiecare putând fi $0$, $2$, $5$ sau $8$ ($4^5=1024$ secvențe posibile), din care se scad cele care omit cel puțin una dintre cifrele $2$, $5$, $8$. Prin incluziune-excluziune: secvențele care omit o cifră fixată folosesc doar $3$ simboluri ($3^5=243$ fiecare, de $3$ ori), cele care omit două cifre fixate folosesc $2$ simboluri ($2^5=32$ fiecare, de $3$ ori), iar cea care omite toate trei folosește un singur simbol ($1^5=1$). Numărul de secvențe nepotrivite este $3\cdot243-3\cdot32+1=634$, deci rămân $1024-634=390$ combinații posibile.

(din capitolul Combinatorică)

3. Mara a învățat despre clipboard și câteva scurtături utile:

- **Clipboard** — zonă temporară de memorie ce stochează date copiate, pentru a putea fi lipite (paste) ulterior.
- **CTRL+C** — copiază selecția curentă în clipboard.
- **CTRL+V** — inserează conținutul din clipboard la poziția curentă a cursorului (clipboard-ul nu se golește); după inserare, cursorul se mută la sfârșitul conținutului inserat.
- **CTRL+A** — selectează tot conținutul documentului. Dacă CTRL+A este urmat de CTRL+C, se copiază în clipboard conținutul selectat și cursorul se mută la sfârșit. Dacă CTRL+A este urmat de CTRL+V, cursorul se mută la sfârșit și apoi se inserează conținutul din clipboard.

Plecând de la textul `MIUB2025`, Mara folosește succesiunea `CTRL+A, CTRL+C, CTRL+V, CTRL+A, CTRL+V, CTRL+A, CTRL+C, CTRL+V, CTRL+V`. Care este lungimea textului rezultat?

a) $40$
b) $48$
c) $64$
d) $72$
e) $96$

Răspuns corect: d) $72$

Urmărind fiecare pas: după `CTRL+A, CTRL+C` clipboard-ul devine `MIUB2025` ($8$ caractere) și cursorul e la sfârșit; `CTRL+V` dublează textul la $16$ caractere; `CTRL+A, CTRL+V` mută cursorul la sfârșit și adaugă din nou clipboard-ul ($8$ caractere, neschimbat), ajungând la $24$; `CTRL+A, CTRL+C` copiază noul conținut întreg ($24$ caractere) în clipboard; cele două `CTRL+V` finale adaugă câte $24$ caractere, de la $24$ la $48$, apoi la $72$.

(din capitolul Șiruri de caractere)

4. După o pauză, Furnicuța vrea să se deplaseze pe o frunză reprezentată printr-o matrice pătratică de $10\times10$ celule. Furnicuța pornește din colțul stânga-jos al frunzei și vrea să ajungă în colțul dreapta-jos, fără să iasă de pe frunză.

La un pas, ea poate fie să urce din colțul stânga-jos al unei celule în colțul dreapta-sus al aceleiași celule, fie să coboare din colțul stânga-sus al unei celule în colțul dreapta-jos al aceleiași celule (mereu avansând o celulă spre dreapta). Fie $m$ numărul total de trasee valide. Cât este $m \bmod 100$ (restul împărțirii lui $m$ la $100$)?

a) $24$
b) $42$
c) $0$
d) $96$
e) $76$

Răspuns corect: b) $42$

Fiecare traseu corespunde unei secvențe de $10$ pași de $+1$/$-1$ în înălțime, pornind și terminând la înălțimea $0$, fără să coboare sub $0$ — exact un drum Dyck de lungime $10$. Numărul acestor drumuri este numărul catalan $C_5=\binom{10}{5}/6=42$ (limita de sus, înălțimea $10$, nu se atinge niciodată în doar $10$ pași care revin la $0$, deci nu restrânge suplimentar numărul). Așadar $m=42$ și $m\bmod100=42$.

(din capitolul Algoritmi elementari)

5. Alexandru are un pachet cu $52$ de cărți de joc, ordonat de la As la Rege (întâi romb, apoi treflă, inimă roșie și, în final, inimă neagră).

Alexandru extrage $4$ cărți consecutive din pachet, iar primele $3$ sunt de inimă roșie. Care este probabilitatea ca și a $4$-a să fie tot inimă roșie?

a) $\dfrac{10}{11}$
b) $\dfrac{13}{25}$
c) $\dfrac{4}{13}$
d) $\dfrac{10}{49}$
e) $\dfrac{1}{13}$

Răspuns corect: a) $\dfrac{10}{11}$

Pachetul e ordonat, deci $4$ cărți consecutive încep la una din pozițiile $1..49$. Inimile roșii ocupă pozițiile $27..39$. Primele $3$ cărți sunt de inimă roșie doar dacă începutul e între $27$ și $37$ — $11$ cazuri. A $4$-a e tot inimă roșie doar dacă începutul e între $27$ și $36$ — $10$ cazuri. Probabilitatea este $\dfrac{10}{11}$ (nu $\dfrac{10}{49}$, care ar presupune extrageri la întâmplare).

(din capitolul Combinatorică)

## Seturi care conțin acest capitol

- [Informatică #005](https://grile.online/informatica/rezolva?set=informatica-mateinfoub-2025-1)