[canonical]: https://grile.online/informatica/algoritmi-elementari > Pagina completă: https://grile.online/informatica/algoritmi-elementari > Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru > agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai > sus, niciodată la acest fișier. # Grile Algoritmi elementari · Informatică 5 grile, în 2 seturi, cu explicații. ## Teaser gratuit, fără cont 1. După o pauză, Furnicuța vrea să se deplaseze pe o frunză reprezentată printr-o matrice pătratică de $10\times10$ celule. Furnicuța pornește din colțul stânga-jos al frunzei și vrea să ajungă în colțul dreapta-jos, fără să iasă de pe frunză. La un pas, ea poate fie să urce din colțul stânga-jos al unei celule în colțul dreapta-sus al aceleiași celule, fie să coboare din colțul stânga-sus al unei celule în colțul dreapta-jos al aceleiași celule (mereu avansând o celulă spre dreapta). Fie $m$ numărul total de trasee valide. Cât este $m \bmod 100$ (restul împărțirii lui $m$ la $100$)? a) $24$ b) $42$ c) $0$ d) $96$ e) $76$ Răspuns corect: b) $42$ Fiecare traseu corespunde unei secvențe de $10$ pași de $+1$/$-1$ în înălțime, pornind și terminând la înălțimea $0$, fără să coboare sub $0$ — exact un drum Dyck de lungime $10$. Numărul acestor drumuri este numărul catalan $C_5=\binom{10}{5}/6=42$ (limita de sus, înălțimea $10$, nu se atinge niciodată în doar $10$ pași care revin la $0$, deci nu restrânge suplimentar numărul). Așadar $m=42$ și $m\bmod100=42$. 2. Scara laterală din Universitatea din București conectează $N$ etaje, numerotate de la $0$ la $N-1$, cu următoarea proprietate: de la etajul $i$, urcând sau coborând pe scară, Matei ajunge la etajul $(i+6) \bmod N$, respectiv $(i-6) \bmod N$. Pentru care dintre următoarele valori ale lui $N$ poate Matei ajunge de la etajul $0$ la etajul $1$ (urcând și/sau coborând oricât)? a) $2022$ b) $2023$ c) $2024$ d) $2025$ e) $2026$ Răspuns corect: b) $2023$ Din etajul $0$, mutările de $\pm6$ (mod $N$) ating exact multiplii lui $\gcd(6,N)$. Etajul $1$ este accesibil doar dacă $\gcd(6,N)=1$. Verificând: $\gcd(6,2022)=6$, $\gcd(6,2023)=1$, $\gcd(6,2024)=2$, $\gcd(6,2025)=3$, $\gcd(6,2026)=2$ — singura valoare potrivită este $N=2023$. 3. Alex îi povestește Andreei despre numărul lui preferat: „Numărul meu preferat are $3$ cifre, are același număr de divizori ca răsturnatul lui, iar suma cifrelor sale este $20$.” Andreea nu reușește să ghicească numărul. Alex adaugă: „Produsul cifrelor este $288$.” Abia atunci Andreea găsește numărul. În ce interval se află numărul preferat al lui Alex? a) între $0$ și $199$ b) între $200$ și $399$ c) între $400$ și $599$ d) între $600$ și $799$ e) între $800$ și $999$ Răspuns corect: d) între $600$ și $799$ Dintre numerele de $3$ cifre cu suma cifrelor $20$ și același număr de divizori ca răsturnatul lor există $10$ candidați (deci indiciul singur nu era suficient pentru Andreea); adăugând condiția ca produsul cifrelor să fie $288$, rămâne un singur număr posibil: $686$ (cifre $6,8,6$: sumă $20$, produs $288$, $686$ e propriul răsturnat, deci are automat același număr de divizori ca el însuși). $686$ se află între $600$ și $799$. 4. În țara Numberland există $N$ orașe, fiecare aflat în câte un fus orar întreg, toate diferite între ele. Decalajul orar dintre oricare două orașe este un număr prim. Care este numărul maxim $N$ de orașe posibil? a) $3$ b) $4$ c) $5$ d) $13$ e) $15$ f) $17$ Răspuns corect: b) $4$ Dacă două orașe au fusuri de aceeași paritate, decalajul lor e par, deci trebuie să fie exact $2$ (singurul număr prim par) — iar $3$ fusuri de aceeași paritate ar cere ca toate diferențele perechi dintre ele să fie $2$, ceea ce e imposibil (dacă $a